MAT
Z Varhoo
Obsah |
Typy homomorfismu f
- epimorfismus – f je surjektivní (pokryvá cílovou množinu)
- monomorfismus – f je injektivní (mapuje jeden prvek pouze na jeden prvek)
- izomorfismus – f je bijektivní (injektivní i surjektivní)
- endomorfismus – A = A* (kde A a A* jsou dve algebry, mezi kterými uvazujeme homorofismus)
- automorfismus – zároveň izomorfní a endomorfní
Odkaz na algebru http://algebra.matfyz.info/
Logika
- axiom
A -> (B -> A)
- axiom
(A -> (B -> C)) -> ((A -> B) -> (A -> C))
- axiom
(not(B) -> not(A)) -> (A -> B)
- pravidlo substituce
- pravidlo odloučení (modus ponens) "pokud je A tautologií, (A -> B) je taky tautologií) pak B je taky tautologií"
- pravidlo zobecnění (generalizace) G: A |– pro všechna x A
- věda o dedukci
Algebra
- Grupoid - (G,op)
- Pologrupa - (G,op), asociativní op
- Monoid - (G,op), asociativní op, existence neutrálního prvku
- Komutativní monoid
- Grupa (G, op), asociativní op, existence neutrálního prvku, inverzní prvek e op a = a op e = a
- Normální podgrupa H je podgrupa G - musí být uzavřena k operaci op a pro každý prvek z množiny H (podgrupy) musí existovat inverzní prvek
- Komutativní grupa (Abelova grupa)
- Okruh (G, op1, op2), op1 komutativní grupa, op2 monoid, distributiva op1: a op2 (b op1 c) = (a op2 b) op1 (a op2 c), (a op1 b) op2 c = (a op2 c) op1 (a op2 b)
- Komutatvní okruh
- Tělese
- Komutativná těleso
- Obor integrity
- Svaz - dvě binárními operacemi, které jsou komutativní, asociativní, idempotentní (tj. a n a = a = a v a ) a platí tzv. absorbce, tj. a v (a n b) = a = a n (a v b).
Pokud se pravý a levý rozklad grupy xH a Hx rovná, tak je grupa abelovská (komutativní).
Relace
- Reflexivní - x je A pro xRx
- Symetrická - y, x je A pro xRy pak yRx
- Antisymetrická - y,x je A pro xRy a yRx, pak y=x
- Transitivní - y,x,z je A pro xRy yRz => xRz
- Ekvivalence - Reflexivní, Symtetrická, Transtivní
- Uspořádání - Reflexivní, Antisymetrická, Transitivní
Metrické prostory
lze určit vzdálnost dvou prvků množiny X
- pro každé x,y platí g(x,y) = 0 => x = y
- pro každé x,y platí symtrie g(x,y) = g(y,x)
- pro každé x,y,z platí g(x,y) + g(y,z) >= g(x,z)
Otevřená koule v metrickém prostoru je určena g(x,x_o) < r (tedy koule bez "obalu")
