MAT

Verze z 30. 1. 2012, 00:31

Typy homomorfismu f

• epimorfismus – f je surjektivní (pokryvá cílovou množinu)
• monomorfismus – f je injektivní (mapuje jeden prvek pouze na jeden prvek)
• izomorfismus – f je bijektivní (injektivní i surjektivní)
• endomorfismus – A = A* (kde A a A* jsou dve algebry, mezi kterými uvazujeme homorofismus)
• automorfismus – zároveň izomorfní a endomorfní

Odkaz na algebru http://algebra.matfyz.info/

Logika

1. axiom

A -> (B -> A)

1. axiom

(A -> (B -> C)) -> ((A -> B) -> (A -> C))

1. axiom

(not(B) -> not(A)) -> (A -> B)

• pravidlo substituce
• pravidlo odloučení (modus ponens) "pokud je A tautologií, (A -> B) je taky tautologií) pak B je taky tautologií"
• pravidlo zobecnění (generalizace) G: A |– pro všechna x A
• věda o dedukci

Algebra

• Grupoid - (G,op)
• Pologrupa - (G,op), asociativní op
• Monoid - (G,op), asociativní op, existence neutrálního prvku
  • Komutativní monoid
• Grupa (G, op), asociativní op, existence neutrálního prvku, inverzní prvek e op a = a op e = a
  • Normální podgrupa H je podgrupa G - musí být uzavřena k operaci op a pro každý prvek z množiny H (podgrupy) musí existovat inverzní prvek
  • Komutativní grupa (Abelova grupa)
• Okruh (G, op1, op2), op1 komutativní grupa, op2 monoid, distributiva op1: a op2 (b op1 c) = (a op2 b) op1 (a op2 c), (a op1 b) op2 c = (a op2 c) op1 (a op2 b)
  • Komutatvní okruh
• Tělese
  • Komutativná těleso
• Obor integrity

• Svaz - dvě binárními operacemi, které jsou komutativní, asociativní, idempotentní (tj. a n a = a = a v a ) a platí tzv. absorbce, tj. a v (a n b) = a = a n (a v b).

Pokud se pravý a levý rozklad grupy xH a Hx rovná, tak je grupa abelovská (komutativní).

Relace

• Reflexivní - x je A pro xRx
• Symetrická - y, x je A pro xRy pak yRx
• Antisymetrická - y,x je A pro xRy a yRx, pak y=x
• Transitivní - y,x,z je A pro xRy yRz => xRz
• Ekvivalence - Reflexivní, Symtetrická, Transtivní
• Uspořádání - Reflexivní, Antisymetrická, Transitivní

Metrické prostory

lze určit vzdálnost dvou prvků množiny X

1. pro každé x,y platí g(x,y) = 0 => x = y
2. pro každé x,y platí symtrie g(x,y) = g(y,x)
3. pro každé x,y,z platí g(x,y) + g(y,z) >= g(x,z)

Otevřená koule v metrickém prostoru je určena g(x,x_o) < r (tedy koule bez "obalu")