MAT
Z Varhoo
(Rozdíly mezi verzemi)
(→Algebra) |
|||
| (Není zobrazeno 10 mezilehlých verzí od 1 uživatele.) | |||
| Řádka 9: | Řádka 9: | ||
== Logika == |
== Logika == |
||
| − | 1. axiom |
+ | # axiom |
A -> (B -> A) |
A -> (B -> A) |
||
| − | 2. axiom |
+ | # axiom |
(A -> (B -> C)) -> ((A -> B) -> (A -> C)) |
(A -> (B -> C)) -> ((A -> B) -> (A -> C)) |
||
| − | 3. axiom |
+ | # axiom |
(not(B) -> not(A)) -> (A -> B) |
(not(B) -> not(A)) -> (A -> B) |
||
| + | |||
| + | * pravidlo substituce |
||
| + | * pravidlo odloučení (modus ponens) "pokud je A tautologií, (A -> B) je taky tautologií) pak B je taky tautologií" |
||
| + | * pravidlo zobecnění (generalizace) G: A |– pro všechna x A |
||
| + | * věda o dedukci |
||
== Algebra == |
== Algebra == |
||
| Řádka 29: | Řádka 34: | ||
** '''Komutativná těleso''' |
** '''Komutativná těleso''' |
||
* '''Obor integrity''' |
* '''Obor integrity''' |
||
| + | |||
| + | * '''Svaz''' - dvě binárními operacemi, které jsou komutativní, asociativní, idempotentní (tj. a n a = a = a v a ) a platí tzv. absorbce, tj. a v (a n b) = a = a n (a v b). |
||
Pokud se pravý a levý rozklad grupy xH a Hx rovná, tak je grupa abelovská (komutativní). |
Pokud se pravý a levý rozklad grupy xH a Hx rovná, tak je grupa abelovská (komutativní). |
||
| + | |||
| + | ===Relace=== |
||
| + | * Reflexivní - x je A pro xRx |
||
| + | * Symetrická - y, x je A pro xRy pak yRx |
||
| + | * Antisymetrická - y,x je A pro xRy a yRx, pak y=x |
||
| + | * Transitivní - y,x,z je A pro xRy yRz => xRz |
||
| + | * Ekvivalence - Reflexivní, Symtetrická, Transtivní |
||
| + | * Uspořádání - Reflexivní, Antisymetrická, Transitivní |
||
| + | |||
| + | ==Metrické prostory== |
||
| + | lze určit vzdálnost dvou prvků množiny X |
||
| + | # pro každé x,y platí g(x,y) = 0 => x = y |
||
| + | # pro každé x,y platí symtrie g(x,y) = g(y,x) |
||
| + | # pro každé x,y,z platí g(x,y) + g(y,z) >= g(x,z) |
||
| + | |||
| + | Otevřená koule v metrickém prostoru je určena g(x,x_o) < r (tedy koule bez "obalu") |
||
| + | |||
| + | ==materiály== |
||
| + | # http://www.math.fme.vutbr.cz/default.aspx?catalog=3&catsrtext=11&catsrfield=38 |
||
| + | # http://www.fit.vutbr.cz/~masopust/MAT/.en |
||
Aktuální verze z 30. 1. 2012, 10:19
Obsah |
[editovat] Typy homomorfismu f
- epimorfismus – f je surjektivní (pokryvá cílovou množinu)
- monomorfismus – f je injektivní (mapuje jeden prvek pouze na jeden prvek)
- izomorfismus – f je bijektivní (injektivní i surjektivní)
- endomorfismus – A = A* (kde A a A* jsou dve algebry, mezi kterými uvazujeme homorofismus)
- automorfismus – zároveň izomorfní a endomorfní
Odkaz na algebru http://algebra.matfyz.info/
[editovat] Logika
- axiom
A -> (B -> A)
- axiom
(A -> (B -> C)) -> ((A -> B) -> (A -> C))
- axiom
(not(B) -> not(A)) -> (A -> B)
- pravidlo substituce
- pravidlo odloučení (modus ponens) "pokud je A tautologií, (A -> B) je taky tautologií) pak B je taky tautologií"
- pravidlo zobecnění (generalizace) G: A |– pro všechna x A
- věda o dedukci
[editovat] Algebra
- Grupoid - (G,op)
- Pologrupa - (G,op), asociativní op
- Monoid - (G,op), asociativní op, existence neutrálního prvku
- Komutativní monoid
- Grupa (G, op), asociativní op, existence neutrálního prvku, inverzní prvek e op a = a op e = a
- Normální podgrupa H je podgrupa G - musí být uzavřena k operaci op a pro každý prvek z množiny H (podgrupy) musí existovat inverzní prvek
- Komutativní grupa (Abelova grupa)
- Okruh (G, op1, op2), op1 komutativní grupa, op2 monoid, distributiva op1: a op2 (b op1 c) = (a op2 b) op1 (a op2 c), (a op1 b) op2 c = (a op2 c) op1 (a op2 b)
- Komutatvní okruh
- Tělese
- Komutativná těleso
- Obor integrity
- Svaz - dvě binárními operacemi, které jsou komutativní, asociativní, idempotentní (tj. a n a = a = a v a ) a platí tzv. absorbce, tj. a v (a n b) = a = a n (a v b).
Pokud se pravý a levý rozklad grupy xH a Hx rovná, tak je grupa abelovská (komutativní).
[editovat] Relace
- Reflexivní - x je A pro xRx
- Symetrická - y, x je A pro xRy pak yRx
- Antisymetrická - y,x je A pro xRy a yRx, pak y=x
- Transitivní - y,x,z je A pro xRy yRz => xRz
- Ekvivalence - Reflexivní, Symtetrická, Transtivní
- Uspořádání - Reflexivní, Antisymetrická, Transitivní
[editovat] Metrické prostory
lze určit vzdálnost dvou prvků množiny X
- pro každé x,y platí g(x,y) = 0 => x = y
- pro každé x,y platí symtrie g(x,y) = g(y,x)
- pro každé x,y,z platí g(x,y) + g(y,z) >= g(x,z)
Otevřená koule v metrickém prostoru je určena g(x,x_o) < r (tedy koule bez "obalu")
